QEPM 6장 요약

1. 핵심 개념

Fundamental factor model은 주식수익률을 기업의 관측 가능한 특성과 연결하는 모형이다.

• Factor exposure: 종목이 특정 위험에 얼마나 노출되어 있는지를 나타낸다.
• Factor premium: 해당 위험을 한 단위 부담한 투자자가 받는 보상이다.
• 평균수익률: factor exposure와 factor premium의 결합으로 결정된다.

$$
\text{평균 주식수익률}
=
\text{Factor exposure}
\times
\text{Factor premium}
$$

여러 factor를 사용하는 경우 종목 $i$의 수익률은 다음과 같이 표현된다.

$$
r_i=\alpha+\boldsymbol{\beta}_i^\prime\mathbf f+\epsilon_i
$$

기호	의미
$r_i$	종목 $i$의 수익률
$\alpha$	선택한 factor와 무관한 공통 수익률
$\boldsymbol{\beta}_i$	종목 $i$의 factor exposure 벡터
$\mathbf f$	factor premium 벡터
$\epsilon_i$	factor가 설명하지 못하는 종목 고유 수익률

Fundamental factor model에서는 exposure를 재무제표나 시장자료에서 관찰할 수 있지만 premium은 직접 관찰할 수 없으므로 회귀분석으로 추정한다.

---

2. 수익률과 위험의 관계

주식의 총위험은 다음 두 부분으로 구성된다.

$$
\text{Total risk}
=
\text{Nondiversifiable risk}
+
\text{Diversifiable risk}
$$

2.1 분산 불가능한 위험

시장 전체 또는 공통 factor에서 발생하는 위험이다. 분산투자로 제거할 수 없으므로 시장은 이 위험을 부담한 투자자에게 보상한다.

$$
\text{Factor risk}
=
\boldsymbol{\beta}_i^\prime V(\mathbf f)\boldsymbol{\beta}_i
$$

2.2 분산가능한 위험

기업 고유의 사건에서 발생하며 충분한 분산투자로 제거할 수 있는 위험이다.

$$
\text{Idiosyncratic risk}=V(\epsilon_i)
$$

따라서 종목 $i$의 총분산은 다음과 같다.

$$
V(r_i)
=
\boldsymbol{\beta}_i^\prime V(\mathbf f)\boldsymbol{\beta}_i
+
V(\epsilon_i)
$$

---

3. 모형 구축 절차

Fundamental factor model은 크게 네 단계로 구축한다.

1. Factor, 무위험수익률 처리방법, 자료기간 및 투자 유니버스를 결정한다.
2. 종목별 factor exposure를 계산한다.
3. 주식수익률을 exposure에 회귀하여 factor premium을 추정한다.
4. 위험을 분산 가능한 부분과 분산 불가능한 부분으로 나눈다.

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4. Preliminary Work

4.1 Factor 선택

Fundamental factor는 개별 종목에서 직접 관찰하거나 계산할 수 있는 특성이어야 한다.

범주	대표 Factor
가치평가	Dividend Yield, B/P, E/P, S/P
규모	Log Market Capitalization
지급능력·재무위험	D/E, Current Ratio, Inverse Interest Coverage
영업수익성	이익성장률, ROA, ROCE
기술적 특성	12개월 Momentum, 거래량, Short Interest
애널리스트	Rating Change, Earnings Revision

GDP와 inflation 같은 경제 factor, consumer sentiment 같은 행동 factor, 수익률 자료에서 추출한 statistical factor는 종목 자체의 관측 가능한 특성이 아니므로 fundamental factor model에 적합하지 않다.

역수 형태의 Factor

분석 가능한 종목을 늘리기 위해 P/E보다 E/P를 사용할 수 있다.

• P/E는 이익이 0이거나 음수이면 해석하기 어렵다.
• E/P는 적자기업도 하나의 연속적인 값으로 표현할 수 있다.
• B/P와 S/P 역시 가격배수의 역수 형태다.

익숙한 표현을 고집하는 것보다 분석 대상을 폭넓게 유지하는 factor 정의가 실무적으로 더 유용할 수 있다.

4.2 Risk-Free Rate 처리

주식수익률에는 위험을 부담하지 않아도 얻을 수 있는 수익이 포함된다. 위험에 대한 실제 보상만 분석하려면 무위험수익률을 차감한다.

$$
r^*{it}=r{it}-r_{ft}
$$

일반적으로 단기 미국 국채수익률 등을 대용치로 사용한다. 완전히 무위험한 자산을 찾기 어렵다는 한계가 있지만 excess return을 사용하는 편이 위험·보상 이론에 더 부합한다.

4.3 Time Interval과 Sample Period

자료의 간격은 가능하면 포트폴리오 재조정 주기와 일치시키는 것이 좋다.

• 월별 재조정: 월별 자료
• 주별 재조정: 주별 자료
• 연간 재조정: 연간 자료

하지만 너무 짧은 간격은 무작위 변동을 키우고, 너무 긴 간격은 관측치 수를 줄인다.

일반적으로 사용하는 기준은 다음과 같다.

• 월별 자료: 약 36–60개월
• 주별 자료: 60개 이상의 관측치, 보통 3년 미만
• 분기·연간 자료: 관측치가 적으므로 5년 이상의 기간

표본기간이 지나치게 길면 수익률과 exposure의 관계가 변하거나 factor premium이 안정적으로 유지되지 않을 수 있다.

4.4 Investment Universe

Investment universe는 포트폴리오에서 실제로 선택할 수 있는 종목의 집합이다.

• 유니버스가 크면 높은 수익률을 낼 종목을 포함할 가능성이 커진다.
• 종목 수가 지나치게 많으면 상관관계와 위험의 추정 정밀도가 낮아진다.
• 투자제약이나 stock screen을 이용해 유니버스를 적절히 줄일 수 있다.

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5. Benchmark와 $\alpha$

Benchmark 대비 초과성과가 목표라면 전체 주식수익률보다 benchmark로 설명되지 않는 residual return을 모형화할 수 있다.

먼저 종목수익률을 benchmark 수익률에 회귀한다.

$$
r_i
=
\widetilde{\alpha}_i
+
\widetilde{\beta}_i r_B
+
\widetilde{\epsilon}_i
$$

그다음 residual return을 다음과 같이 정의한다.

$$
\widetilde r_i
=
\widetilde{\alpha}_i
+
\widetilde{\epsilon}_i
$$

이 residual return에 fundamental factor model을 적용한다. 여기서 $\widetilde{\alpha}_i$는 benchmark로 설명되지 않는 운용역의 부가가치를 나타낸다.

Benchmark는 다음 시점 중 하나에서 반영할 수 있다.

• Factor model 구축 단계에서 residual return으로 조정
• Benchmark 자체를 factor로 포함
• 포트폴리오 최적화 단계에서 tracking error 제약으로 반영

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6. Factor Exposure

Fundamental factor model의 exposure는 직접 관찰하거나 간단히 계산할 수 있다.

Factor	계산 또는 의미
E/P	주당순이익 ÷ 주가
B/P	보통주 자본가치 ÷ 시장가치
D/E	총부채 ÷ 총자본
LOGSIZE	시가총액의 자연로그
M12M	직전 12개월의 Momentum

Factor premium의 부호는 exposure가 기대수익률에 미치는 방향을 결정한다.

• Premium이 양수이면 exposure가 높은 종목의 기대수익률이 높아진다.
• Premium이 음수이면 exposure가 높은 종목의 기대수익률이 낮아진다.

6.1 Look-Ahead Bias 방지

Exposure는 반드시 해당 시점에 투자자가 실제로 알 수 있었던 정보로 계산해야 한다.

예를 들어 12월 초 수익률을 예측한다면 다음과 같이 처리한다.

• 가격과 거래량: 11월 말 자료 사용
• Momentum: 11월까지의 수익률 사용
• 분기 재무자료: 공시 지연을 고려하여 통상 2–3개월 lag 적용
• 연간 재무자료: 실제 공시가 완료된 최근 회계연도 자료 사용

아직 발표되지 않은 실적을 과거 시점의 exposure에 사용하면 look-ahead bias가 발생한다.

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7. Factor Premium 추정

$N$개 종목과 $T$개 기간의 자료를 결합한 panel regression으로 premium을 추정한다.

$$
r_{it}
=
\alpha
+
\boldsymbol{\beta}{it}^\prime\mathbf f
+
\epsilon{it}
$$

Factor premium은 exposure 한 단위가 평균수익률에 미치는 영향을 나타낸다.

7.1 OLS Estimator

가장 간단한 추정방법은 Ordinary Least Squares다. OLS는 모든 종목과 기간에서 발생한 residual의 제곱합을 최소화한다.

추정된 premium과 standard error를 이용하면 다음을 판단할 수 있다.

• Premium의 방향
• 경제적 크기
• 통계적 유의성
• 추정치의 정밀도

하지만 OLS는 outlier, 이분산성 및 자기상관에 민감하다.

7.2 Robustness Check

좋은 factor premium은 자료구성의 작은 변화에도 비교적 안정적이어야 한다.

대표적인 점검방법은 다음과 같다.

• 전체 표본을 전반기와 후반기로 나누어 비교한다.
• 경제 sector별로 premium을 별도 추정한다.
• 서로 다른 표본기간을 사용한다.
• 다른 추정방법의 결과와 비교한다.

부분표본에서 premium의 크기나 부호가 크게 달라지면 factor가 불안정하거나 모형설정에 문제가 있을 가능성이 있다.

7.3 MAD Estimator

OLS가 residual의 제곱합을 최소화한다면 Minimum Absolute Deviation은 residual 절댓값의 합을 최소화한다.

방법	최소화 대상	특징
OLS	Residual 제곱합	Outlier에 민감
MAD	Residual 절댓값의 합	Outlier의 영향이 작음

OLS와 MAD에서 factor premium의 부호가 바뀐다면 소수의 극단값이 OLS 결과를 좌우하고 있을 가능성이 크다.

7.4 HAC Standard Error

OLS 계수는 유지하면서 standard error만 현실적인 오차구조에 맞게 조정할 수 있다.

HAC standard error는 다음 두 가지 OLS 가정을 완화한다.

• 모든 기업의 오차분산이 같다는 가정
• 서로 다른 기간의 오차가 독립이라는 가정

HAC standard error가 일반 OLS standard error보다 크다면 기존 분석이 factor premium의 정밀도와 통계적 유의성을 과장했을 가능성이 있다.

---

8. Risk Decomposition

기대수익률은 다음과 같이 계산한다.

$$
E(r_i)
=
\widehat{\alpha}
+
\boldsymbol{\beta}_i^\prime\widehat{\mathbf f}
$$

위험을 분해하려면 pooled regression만 사용하는 대신 매 기간에 cross-sectional regression을 수행한다.

8.1 분산 불가능한 위험

기간별로 추정한 factor premium의 변화에서 발생한다.

$$
\widehat{\alpha}t
+
\boldsymbol{\beta}{it}^\prime\widehat{\mathbf f}_t
$$

이 값의 시계열 분산을 종목의 분산 불가능한 위험으로 사용한다.

8.2 분산가능한 위험

Factor가 설명하지 못한 residual의 분산이다.

$$
\widehat{\sigma}i^2
=
\frac{1}{T}
\sum{t=1}^{T}
\left(
r_{it}
-
\widehat{\alpha}t
-
\boldsymbol{\beta}{it}^\prime\widehat{\mathbf f}_t
\right)^2
$$

8.3 Total Risk와 종목 간 관계

$$
\text{Total risk}
=
\text{Factor-driven risk}
+
\text{Residual risk}
$$

포트폴리오 최적화에는 개별 종목의 위험뿐 아니라 종목 간 covariance도 필요하다. 실무에서는 보통 factor로 설명되는 공통수익률 간 covariance만 추정하고 residual 간 covariance는 0으로 가정한다.

그 이유는 다음과 같다.

• 종목이 많아지면 추정해야 할 residual covariance가 급격히 증가한다.
• 제한된 자료로는 이를 정밀하게 추정하기 어렵다.
• 충분히 분산된 포트폴리오에서는 종목 고유위험의 중요성이 감소한다.

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9. 실무 구축 흐름

Factor 선택
    ↓
무위험수익률 처리
    ↓
자료 간격·표본기간·투자 유니버스 결정
    ↓
시점에 맞는 Factor exposure 계산
    ↓
Panel regression으로 Factor premium 추정
    ↓
부분기간·Sector별 Robustness 검증
    ↓
필요하면 MAD 또는 HAC 적용
    ↓
종목별 기대수익률 계산
    ↓
위험을 Factor risk와 Residual risk로 분해
    ↓
포트폴리오 최적화에 활용

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10. 결론

Fundamental factor model의 핵심은 다음과 같다.

관측 가능한 기업 특성으로 위험 노출을 측정하고, 시장이 그 위험에 지급한 보상을 통계적으로 추정한다.

모형의 신뢰성을 높이려면 다음 사항이 중요하다.

• 경제적으로 설명 가능한 factor를 선택한다.
• 공시시차를 반영하여 look-ahead bias를 방지한다.
• 표본기간과 자료주기를 신중하게 선택한다.
• Factor premium의 부호와 안정성을 여러 부분표본에서 검증한다.
• Outlier, 이분산성 및 자기상관을 고려한다.
• 위험을 공통 factor 위험과 종목 고유위험으로 분리한다.

이 과정을 통해 투자 유니버스에 속한 종목의 기대수익률과 위험을 일관된 체계 안에서 추정할 수 있으며, 그 결과는 종목선택과 포트폴리오 최적화의 기초가 된다.